反函数怎么求？反函数与原函数的关系
发布时间：2022-06-20 作者：蓝灵育儿网编辑 育儿网 www.dgmmbb.com
首先看这个函数是不是单调函数，如果不是则反函数不存在。如果是单调函数，则只要把x和y互换，然后解出y即可。例如 y=x^2，x=正负根号y，则f(x)的反函数是正负根号x，求完后注意定义域和值域，反函数的定义域就是原函数的值域，反函数的值域就是原函数的定义域。
求反函数先判断反函数是否存在，严格单调函数必定有严格单调的反函数，并且二者单调性相同，再判断该函数与它的反函数在相应区间上单调性是否一致，例如 求 y=x^2 的反函数。x=±根号y，则 f(x) 的反函数是正负根号 x，求完后注意定义域和值域，反函数的定义域就是原函数的值域，反函数的值域就是原函数的定义域。
反函数的性质：
1、单调函数必有反函数。有反函数的函数不一定是单调函数，例如反比例函数 y = K/x ( K ≠ 0 ) ;
2、奇函数不一定有反函数，例如 y = sin x , y = x - 1/x ；当奇函数存在反函数时，反函数一定是奇函数。
例如反比例函数 y = K/x ( K ≠ 0 ) 的反函数还是 y = K/x ( K ≠ 0 ) 。
3、偶函数不一定没有反函数，例如 y = 1 , x ∈ { 0 } 。
反函数与原函数的关系：
1、反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域；
2、互为反函数的两个函数的图像关于直线 y = x 对称 ；
3、原函数若是奇函数，则其反函数为奇函数；
4、若函数是单调函数，则一定有反函数，且反函数的单调性与原函数的一致；
5、原函数与反函数的图像若有交点，则交点一定在直线 y = x 上或关于直线 y = x 对称出现 。
反函数存在定理
定理：严格单调函数必定有严格单调的反函数，并且二者单调性相同。在证明这个定理之前先介绍函数的严格单调性。
设y=f(x)的定义域为D，值域为f(D)。如果对D中任意两点x1和x2，当x1<x2时，有y1<y2，则称y=f(x)在D上严格单调递增；当x1<x2时，有y1>y2，则称y=f(x)在D上严格单调递减。
证明：设f在D上严格单增，对任一y∈f(D)，有x∈D使f(x)=y。
而由于f的严格单增性，对D中任一x'<x，都有y'<y；任一x''>x，都有y''>y。总之能使f(x)=y的x只有一个，根据反函数的定义，f存在反函数f-1。
任取f(D)中的两点y1和y2，设y1<y2。因为f存在反函数f-1，所以有x1=f-1(y1)，x2=f-1(y2)，且x1、x2∈D。
若此时x1≥x2，根据f的严格单增性，有y1≥y2，这和我们假设的y1<y2矛盾。
因此x1<x2，即当y1<y2时，有f-1(y1)<f-1(y2)。这就证明了反函数f-1也是严格单增的。
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